cho \(1\le a\le2;1\le b\le2.\)Tìm GTNN
\(P=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^3+b^3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 11 2019
Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Nên ta cần CM \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge a^3+b^3+c^3\)
Theo đề bài ta có
\(a\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)=> \(a^3\le3a^2-2a\)
Tương tự với b,c => \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\)=> \(ab\ge2\left(a+b\right)-4\)
Tương tự => \(ab+bc+ac\ge4\left(a+b+c\right)-12\)
Khi đó BĐT <=>
\(a^2+b^2+c^2+4\left(a+b+c\right)-12\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
<=> \(3\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-6\)
<=>\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\left(b-1\right)\left(b-2\right)+\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)(luôn đúng với giả thiết)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(2;2;2\right),\left(2;2;1\right),....\)và các hoán vị
KN
17 tháng 2 2020
Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Nên \(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge a^3+b^3+c^3\)
Ta có \(a\left(a-2\right)\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow a^3\le3a^2-2a\)
Tương ta ta có: \(b^3\le3b^2-2b;c^3\le3c^2-2c\)
Cộng từng vế của các bđt trên: \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)
Đặt \(\)\(K=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)
Ta lại có
\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le3a-2\)
Tương tự \(b^2\le3b-2;c^2\le3c-2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\left(a+b+c\right)-6\)(1)
\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Leftrightarrow ab\ge2a+2b-4\)
Tương tự \(bc\ge2b+2c-4;ca\ge2c+2a-4\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge4\left(a+b+c\right)-12\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(K\le6\left(a+b+c\right)-12-2\left(a+b+c\right)\)
\(-\left[4\left(a+b+c\right)-12\right]=0\)
\(K\le0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
hay \(\text{Σ}_{cyc}a^2+\text{Σ}_{cyc}ab+3\text{Σ}_{cyc}\left(a+b\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)\in\left(2;2;1\right)\)và các hoán vị hoặc \(a=b=c=2\)
8 tháng 12 2016
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) (1)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(1\le a\le b\le2\). Ta có \(\frac{a}{b}\le1\); \(2\ge b\) , \(a\ge1\) \(\Rightarrow2a\ge b\Rightarrow\frac{a}{b}\ge\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{a}{b}\le1< 2\)
Ta có : \(\left(2-\frac{a}{b}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{b}\right)\le0\Rightarrow1-\frac{2a}{b}-\frac{a}{2b}+\frac{a^2}{b^2}\le0\)
\(\Rightarrow1+\frac{a^2}{b^2}\le\frac{5}{2}.\frac{a}{b}\)\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le\frac{5}{2}\) (2) (chia hai vế cho \(\frac{a}{b}\) )
Từ (1) và (2) ta suy ra \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}\)
20 tháng 11 2017
a + b a 1 + b 1 = 2 + b a + a b (1) Không mất tính tổng quát, ta giả sử 1 ≤ a ≤ b ≤ 2. Ta có b a ≤ 1; 2 ≥ b , a ≥ 1 ⇒2a ≥ b⇒ b a ≥ 2 1 ⇒ 2 1 ≤ b a ≤ 1 < 2 Ta có : 2 − b a 2 1 − b a ≤ 0⇒1 − b 2a − 2b a + b 2 a 2 ≤ 0 ⇒1 + b 2 a 2 ≤ 2 5 . b a ⇒ b a + a b ≤ 2 5 (2) (chia hai vế cho b a ) Từ (1) và (2) ta suy ra a + b a 1 + b 1 ≤ 2 + 2 5 = 2 9 (
mk nghĩ vậy
14 tháng 10 2017
Từ giả thiết \(1\le a\le2\),suy ra
\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2-3a+2\le0\)
Tương tự \(b^2-3b+2\le0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-3\left(a+b\right)+4\le0\)
Do đó
\(P=a^2+b^2-3\left(a+b\right)+4-\left(a+\frac{1}{a}\right)-\left(\frac{b}{4}+\frac{1}{b}\right)\)
\(P=\left[a^2+b^2-3\left(a+b\right)+4\right]-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{b}}{2}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2-3\le-3\)
Đẳng thức xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}\\\frac{\sqrt{b}}{2}=\frac{1}{\sqrt{b}}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}\)
Vậy \(max_P=-3\Leftrightarrow a=1;b=2\)
P/ s : Các bạn tham khảo nha
IU
2
C
19 tháng 5 2017
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}\)= \(\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2}\)= 1 + \(\frac{2ab}{a^2+b^2}\)
Ta có: a,b > 0
a2 + b2 >= 2\(\sqrt{a^2b^2}\) = 2ab
Tỉ số \(\frac{2ab}{a^2+b^2}\)càng nhỏ khi |a - b| càng lớn.
Mà 1 <= a,b <= 2
=> Max|a - b| = 1 khi a = 2, b = 1 hoặc a = 1, b = 2
Vậy, MinA = 1 + \(\frac{2.1.2}{1^2+2^2}\)= 1 + \(\frac{4}{5}\)= \(\frac{9}{5}\)
Bài này nếu tính GTLN thì MaxA = 2 khi a = b
25 tháng 11 2017
Câu trả lời của tớ là : MaxA = 2 khi a = b
Ý tớ là đồng ý với kết quả của Chibi
tk nha
29 tháng 1 2020
\(1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\) \(\Rightarrow a^2-3a+2\le0\Rightarrow a^2+2\le3a\)
\(\Rightarrow a+\frac{2}{a}\le3\)\(\Rightarrow\left(a+\frac{2}{a}\right)^2\le9\Rightarrow a^2+\frac{4}{a^2}\le5\)
Tương tự : \(b+\frac{2}{b}\le3\); \(b^2+\frac{4}{b^2}\le5\)
\(\Rightarrow a+\frac{2}{a}+a^2+\frac{4}{a^2}+b+\frac{2}{b}+b^2+\frac{4}{b^2}\le16\)
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(16=\left(a+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b}\right)+\left(b+a^2+\frac{4}{b^2}+\frac{2}{a}\right)\ge2\sqrt{\left(a+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b}\right)\left(b+a^2+\frac{4}{b^2}+\frac{2}{a}\right)}\)
\(\Leftrightarrow8\ge\sqrt{\left(a+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b}\right)\left(b+a^2+\frac{4}{b^2}+\frac{2}{a}\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\left(a+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b}\right)\left(b+a^2+\frac{4}{b^2}+\frac{2}{a}\right)\le64\)
Vậy GTLN của A là 64 \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=1\\a=b=2\end{cases}}\)
